1.8: Tangentlinjen tilnærming (2024)

Tangentlinjen

Gitt en funksjon \ (f \) som kan differensieres til \ (x = a \ tekst {,} \) vet vi at vi kan bestemme helningen på tangentlinjen til \ (y = f (x) \) på \ ((a, f (a)) \) ved å beregne \ (f '(a) \ tekst {.} \) Ligningen til den resulterende tangentlinjen er gitt i punkt-slope form av

\[ y - f(a) = f'(a)(x-a) \ \ \tekst{eller} \ \ y = f'(a)(x-a) + f(a)\tekst{.} \nonummer \]

Merk godt: Det er en stor forskjell mellom \ (f (a) \) og \ (f (x) \) i denne sammenhengen.Førstnevnte er en konstant som resulterer fra å bruke den gitte faste verdien av \ (a \ tekst {,} \) mens sistnevnte er det generelle uttrykket for regelen som definerer funksjonen.Det samme er tilfelle for \ (f '(a) \) og \ (f' (x) \ tekst {:} \) Vi må nøye skille mellom disse uttrykkene.Hver gang vi finner tangentlinjen, må vi evaluere funksjonen og dens derivat på en fast \ (a \)-verdi.

I figur \ (\ pageIndex {2} \) ser vi grafen til en funksjon \ (f \) og dens tangentlinje på punktet \ ((a, f (a)) \ tekst {.} \) Legg merke til hvordanNår vi zoomer inn ser vi den lokale lineariteten til \ (f \) tydeligere fremhevet.Funksjonen og dens tangentlinje er nesten ikke skille ut på nært hold.Lokal linearitet kan også sees dynamisk i Java -appleten påhttp://gvsu.edu/s/6J.

Den lokale lineariseringen

En liten endring i perspektiv og notasjon vil gjøre det mulig for oss å være mer presis når vi diskuterer hvordan tangentlinjen tilnærmer \ (f \) nær \ (x = a \ tekst {.} \) Ved å løse for \ (y \ tekst {,}\) Vi kan skrive ligningen for tangentlinjen som

\ [y = f '(a) (x-a) + f (a) \ nonumber \]

Denne linjen er i seg selv en funksjon av \ (x \ tekst {.} \) Erstatte variabelen \ (y \) med uttrykket \ (l (x) \ tekst {,} \) vi ringer

\[ L(x) = f'(a)(x-a) + f(a) \nonummer \]

deLokal linearisering av \ (f \)i punktet \((a,f(a))\tekst{.}\) I denne notasjonen er \(L(x)\) ikke mer enn et nytt navn for tangentlinjen. Som vi så ovenfor, for \(x\) nær \(a\tekst{,}\) \(f(x) \ca L(x)\tekst{.}\)

Vi understreker at \ (y = l (x) \) ganske enkelt er et nytt navn for tangentlinjefunksjonen.Ved å bruke denne nye notasjonen og vår observasjon at \ (l (x) \ ca.

\[ f(x) \ca. f(a) + f'(a)(x-a) \ \tekst{for} \ x \ \tekst{nær} \ a\tekst{.} \nonummer \]

Aktivitet \(\PageIndex{2}\)

Anta at det er kjent at for en gitt differensiell funksjon \ (y = g (x) \ tekst {,} \) er dens lokale linearisering på det punktet hvor \ (a = -1 \) er gitt av \ (l (x) =-2 + 3 (x + 1) \ tekst {.} \)

1. Beregn verdiene for \(L(-1)\) og \(L'(-1)\tekst{.}\)
2. Hva må være verdiene til \ (g (-1) \) og \ (g '(-1) \ tekst {?} \) Hvorfor?
3. Forventer du at verdien av \ (g (-1,03) \) skal være større enn eller mindre enn verdien av \ (g (-1) \ tekst {?} \) Hvorfor?
4. Bruk den lokale lineariseringen til å estimere verdien av \(g(-1,03)\tekst{.}\)
5. Anta at du også vet at \ (g '' ( -1) = 2 \ tekst {.} \) Hva forteller dette deg om grafen til \ (y = g (x) \) på \ (a = -1\tekst{?}\)
6. For \ (x \) nær \ (-1 \ tekst {,} \) skisse grafen til den lokale lineariseringen \ (y = l (x) \) samt en mulig graf over \ (y = g (x)\) På aksene som er gitt i figur \ (\ sideindex {3} \).

Fra Activity \(\PageIndex{2}\), ser vi at den lokale lineariseringen \(y = L(x)\) er en lineær funksjon som deler to viktige verdier med funksjonen \(y = f(x)\) som den er avledet fra. Spesielt,

• fordi \(L(x) = f(a) + f'(a)(x-a)\tekst{,}\) følger det at \(L(a) = f(a)\tekst{;}\) og
• fordi \(L\) er en lineær funksjon, er dens deriverte helningen.

Derfor, \ (l '(x) = f' (a) \) for hver verdi av \ (x \ tekst {,} \) og spesifikt \ (l '(a) = f' (a) \ tekst {.} \) Derfor ser vi at \ (l \) er en lineær funksjon som har både samme verdi og samme skråning som funksjonen \ (f \) på punktet \ ((a, f (a)) \ tekst{.} \)

Så hvis vi kjenner den lineære tilnærmingen \ (y = l (x) \) for en funksjon, kjenner vi den opprinnelige funksjonens verdi og dens skråning på tangenspunktet.Det som imidlertid fortsatt er ukjent, er formen på funksjonen \ (f \) på tangenspunktet.Det er i hovedsak fire muligheter, som vist i figur \ (\ sideindex {4} \).

Disse mulige formene er et resultat av det faktum at det er tre alternativer for verdien av den andre deriverte: enten \(f''(a) \lt 0\text{,}\) \(f''(a) = 0\ tekst{,}\) eller \(f''(a) \gt 0\tekst{.}\)

• Hvis \(f''(a) \gt 0\text{,}\) så vet vi at grafen til \(f\) er konkav opp, og vi ser den første muligheten til venstre, der tangentlinjen ligger helt under kurven.
• Hvis \ (f '' (a) \ lt 0 \ tekst {,} \) så \ (f \) er konkave ned og tangentlinjen ligger over kurven, som vist i den andre figuren.
• Hvis \(f''(a) = 0\) og \(f''\) endrer fortegn ved \(x = a\tekst{,}\) vil konkaviteten til grafen endres, og vi vil se enten tredje eller fjerde figur.².
• Et femte alternativ (som ikke er særlig interessant) kan oppstå hvis funksjonen \(f\) i seg selv er lineær, slik at \(f(x) = L(x)\) for alle verdiene av \(x\tekst{. }\)

Det er mulig at \ (f '' (a) = 0 \) men \ (f '' \) endrer ikke tegn til \ (x = a \ tekst {,} \) i hvilket tilfelle grafen vil se ut som enav de to første alternativene.

Tomtene i figur \ (\ pageIndex {4} \) fremhever enda en viktig ting som vi kan lære av konkaviteten til grafen nær tangenspunktet: om tangentlinjen ligger over eller under selve kurven.Dette er nøkkelen fordi det forteller oss om verdiene til tangentlinjen vil være for store eller for små sammenlignet med den sanne verdien av \ (f \ tekst {.} \) For eksempel i den første situasjonen i venstre plotI figur \ (\ pageIndex {4} \) hvor \ (f '' (a)> 0 \ tekst {,} \) fordi tangentlinjen faller under kurven, vet vi at \ (l (x) \ le f(x) \) for alle verdier av \ (x \) nær \ (a \ tekst {.} \)

Aktivitet \(\PageIndex{3}\)

Denne aktiviteten gjelder en funksjon \(f(x)\) som følgende informasjon er kjent om:

• \ (f \) er en differensierbar funksjon definert på hvert reelt tall \ (x \)
• \\(\displaystyle f(2) = -1\)
• \(y = f'(x)\) har sin graf gitt i figur \(\PageIndex{5}\)

Din oppgave er å finne så mye informasjon som mulig om \(f\) (spesielt nær verdien \(a = 2\)) ved å svare på spørsmålene nedenfor.

1. Finn en formel for tangentlinjen tilnærming, \ (l (x) \ tekst {,} \) til \ (f \) på punktet \ ((2, -1) \ tekst {.} \)
2. Bruk tangentlinjetilnærmingen for å estimere verdien av \ (F (2.07) \ tekst {.} \) Vis arbeidet ditt nøye og tydelig.
3. Skisse en graf av \ (y = f '' (x) \) på høyre rutenett i figur \ (\ pageIndex {5} \);Merk den på riktig måte.
4. Er stigningstallet på tangentlinjen til \(y = f(x)\) økende, avtagende eller ingen av delene når \(x = 2\tekst{?}\) Forklar.
5. Skisse en mulig graf av \ (y = f (x) \) nær \ (x = 2 \) på venstre rutenett i figur \ (\ pageindex {5} \).Inkluder en skisse av \ (y = l (x) \) (funnet i del (a)).Forklar hvordan du kjenner grafen til \ (y = f (x) \) ser ut som om du har tegnet den.
6. Estimerer estimatet ditt i (b) over- eller under estimerer den sanne verdien av \ (F (2.07) \ tekst {?} \) Hvorfor?

Ideen om at en differensierbar funksjon ser lineær ut og kan approksimeres godt av en lineær funksjon er en viktig funksjon som finner bred anvendelse i kalkulus. For eksempel, ved å tilnærme en funksjon med dens lokale linearisering, er det mulig å utvikle en effektiv algoritme for å estimere nullene til en funksjon. Lokal linearitet hjelper oss også til å forstå visse utfordrende grenser ytterligere. For eksempel har vi sett at grensen

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \nonummer \]

er ubestemt, fordi både telleren og nevneren har en tendens til 0. Selv om det ikke er noen algebra vi kan gjøre for å forenkle \\(\frac{\sin(x)}{x}\tekst{,}\), er det enkelt å vis at lineariseringen av \(f(x) = \sin(x)\) i punktet \((0,0)\) er gitt av \(L(x) = x\tekst{.}\) Derfor , for verdier av \(x\) nær 0, \\(\sin(x) \approx x\text{,}\) og derfor

\[ \frac{\sin(x)}{x} \approx \frac{x}{x} = 1\tekst{,} \nonummer \]

som gjør det plausible det faktum at

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1\tekst{.} \nonummer \]

Sammendrag

• Tangentlinjen til en differensierbar funksjon \(y = f(x)\) i punktet \((a,f(a))\) er gitt i punkt-hellingsform av ligningen

  \ [y - f (a) = f '(a) (x -a) \ tekst {.} \ nonumber \]

• Prinsippet om lokal linearitet forteller oss at hvis vi zoomer inn på et punkt der en funksjon \ (y = f (x) \) er differensierbar, vil funksjonen ikke skilles fra tangentlinjen.Det vil si at en differensiell funksjon ser lineær ut når den vises på nært hold.Vi gir nytt navn til tangentlinjen til å være funksjonen \ (y = l (x) \ tekst {,} \) hvor \ (l (x) = f (a) + f '(a) (x-a) \ tekst {.}\) Dermed \ (f (x) \ ca. l (x) \) for alle \ (x \) nær \ (x = a \ tekst {.} \)
• Hvis vi kjenner tangentlinjen tilnærming \ (l (x) = f (a) + f '(a) (x-a) \) til en funksjon \ (y = f (x) \ tekst {,} \), så fordi \ \(L (a) = f (a) \) og \ (l '(a) = f' (a) \ tekst {,} \) Vi kjenner også verdiene til både funksjonen og dens derivat på det punktet hvor \(x = a \ tekst {.} \) Med andre ord forteller den lineære tilnærmingen oss høyden og skråningen til den opprinnelige funksjonen.Hvis vi i tillegg vet verdien av \ (f '' (a) \ tekst {,} \), vet vi om tangentlinjen ligger over eller under grafen til \ (y = f (x) \ tekst {,} \) avhengig av konkaviteten til \ (f \ tekst {.} \)